開発者、技術者の間では「あるある」かも知れません。ビジネス的にはあり得ないようなことなのですが…。
一般的なこと、何度もやっていることなら、始める前からやるべきことを一覧表にし、各作業にかかる時間と費用を出すことは十分に可能です。あるいはやったことがないことでも、過去の事例から類推することが出来る場合も多々あるでしょう。
しかしまったく新しいことの場合、始めてみないとその難易度すらわからないことがあるものです。特によく知らない外部システムとの連携などでは、進めていくうちに予想外のことが往々にして起こるものです。10日間で出来ると思っていたことが30日間かかることだってあり得ます。すると当然、費用だって予定の2倍、3倍になってしまいます。
その場合、職人意識が高い技術者の中には、「わからないことは申し上げられません。」などと言って、事前の見積もりを頑固に断る人もいます。気持ちはわかるのですが…ビジネスとしては、そういうわけには行きません。価格も納期もわからないプロジェクトをお客様に提案することはできませんし、仮に提案したとしても、お客様がその提案を社内で通すのは不可能と言えます。
どうしても価格や納期が事前に断定できない場合は、ある程度の条件を付けた上で見積もりを出すしかないと思います。